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Wheeler-deWitt-Gleichung

Nach dem allgemeinen Muster der Feldtheorie ersetzen wir die Impulse durch die partiellen Ableitungen nach den Koordinaten und entsprechen so den Vertauschungsrelationen von Ort und Impuls.

Die Gleichung , also die Impuls-Zwangsbedingung

ist der quantenmechanische Ausdruck für die Kovarianz in den Flächen t= const., d.h. für die Invarianz der Theorie unter 3-dimensionalen Diffeomorphismen in . Führen wir die Ersetzung durch, erhalten wir aus der Gleichung eine formale Differentialgleichung zweiter Ordnung, die Wheeler-deWitt Gleichung

In ihr kommt zum Ausdruck, daß die Gesamtenergie eines geschlossenen Universums verschwindet. Die Gleichung hängt mit der Reparametrisierungs-Invarianz der Theorie zusammen. Der Quantenzustand eines Systems ist repräsentiert durch das Wellenfunktional

ein Funktional im Superraum. hängt nicht explizit von der Zeit ab. Die Flächen sind kompakt, und daher fixiert ihre innere Geometrie (d.h. die Metrik ) ihre relative Lage in der Raum-Zeit. Anders ausgedrückt ist die Allgemeine Relativitätstheorie eine parametrisierte Theorie, d.h. die Zeit ist schon enthalten in den dynamischen Variablen, die sie beschreiben: und . Die Wheeler-deWitt-Gleichung ist eine hyperbolische Funktional-Differentialgleichung 2.Ordnung, die die dynamische Evolution der Wellenfunktion im Superraum beschreibt.
Einige Bemerkungen zur Wheeler-deWitt-Gleichung:

• ist ein nichttrivialer Operator, die Gleichung sehr schwer zu lösen.
• Die Reihenfolge der Produkte ist klassisch beliebig, die quantenmechanischen Operatoren sind aber nicht vertauschbar, weil die Metrik (die die Form des kausalen Zusammenhangs beschreibt) nicht vorgegeben ist, sondern erst Ergebnis der Rechnung sein soll.
• Die Wahl der Foliation ist beliebig, die resultierenden Quantentheorien sind im Allgemeinen aber nicht unitär-äquivalent.
• Die Zeit fällt aus der Wheeler-deWitt-Gleichung vollständig heraus. Die Wellenfunktion ist unabhängig von der Zeit, da diese im Wirkungsintegral nicht explizit vorkommt. Das wiederum ist eine Folge der Invarianz gegen Umeichung von Lapse N und Shift . Die relative Lage der Raumschnitte und damit auch der zeitliche Ablauf müssen bereits durch die innere Geometrie der Raumschnitte bestimmbar sein.
• Wie soll man Rand- und Anfangsbedingungen wählen? Die klassischen Anfangsbedingungen sollen nach Möglichkeit erklärt werden. Damit die resultierende Theorie Vorhersagekraft hat, brauchen wir eine Quantentheorie der Randbedingungen.

Die Behandlung der Wheeler-deWitt-Gleichung benutzt die Pfadintegralmethode. Formal schreibt man

bedeutet dabei eine Summe über die Klasse von Mannigfaltigkeiten M mit sowie über die Klasse von 4-Metriken und Materiefeldern , die die 3-Metrik und das Materiefeld auf der Hyperfläche B induzieren. Man erhält daraus eine Wellenfunktion, deren Amplitude eine Wahrscheinlichkeitsdichte im Superraum beschreibt. Gebiete des Superraums, in denen die Amplitude groß ist, interpretiert man als tatsächlich beobachtete Zustände des Kosmos. Wenn die Wellenfunktion dabei auch noch oszillatorischen Charakter hat, also der Realteil von S wesentlich ist, findet man auch Vergleiche mit klassischen Lösungen.

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