1. Hauptlage 
Zur Herleitung der Hyperbelgleichung wird die Gleichung 
berücksichtigt.
Aus |(e + x – xM)2 + (y– yM)2)1/2
- ((e – (x – xM)2 + (y– yM)2)1/2
|= 2 · a erhält man:
hyp: a2 · b2 = b2 · (x – xM)2 - a2 · (y – yM)2
2. Hauptlage
Da es sich bei einer Hyperbel der 2. Hauptlage um eine Spiegelung einer Hyperbel der 1.
Hauptlage an der 1. Mediane handelt, müssen in der Formel lediglich die x und y
Koordinaten vertauscht werden
hyp: a2 · b2 = - a2 · (x – xM)2 + b2 · (y – yM)2
Gleichung in Polarkoordinaten
1. Fall
Der Pol liegt im linken Brennpunkt F1(-e|0) und als Polare
wird die x-Achse angesehen. Mit dem Cosinussatz läßt sich folgende Gleichung festlegen,
die jedoch nur für den linken Ast der Hyperbel gilt.
Aus der Gleichung (2 · a + z)2 = z2 + 4 · e2 - 4 · z ·
e · cosj folgt dann, nach einigen
ähnlichen Äquivalenz-umformungen wie bei der Ellipse:
2. Fall
Der Pol liegt im rechten Brennpunkt F2 (e|0) und als Polare wird die x-Achse
angesehen. Diese Gleichung gilt jedoch nur für den rechten Ast der Hyperbel
3. Fall
Der Pol liegt im Mittelpunkt der Hyperbel und die x-Achse ist die Polare. Diese
Gleichung gilt nun für beide Äste der Hyperbel. Etwas anders, als wie bei den beiden
vorhergegangenen Fällen verläuft die Herleitung dieser Formel. Wie bei der Ellipse wird
die Gleichung y2 = z2 – x2 in die
Gleichung a2 · b2 = b2 · x2 - a2 ·y2
eingesetzt und nach x2 aufgelöst. Das Ergebnis wird dann in die
Gleichung cosj = x/z eingesetzt und dies ergibt dann:
