Kegelschnitte

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Kegelschnitte

Kreis
Ellipse
Hyperbel
Parabel
Sonstiges

Entstehung eines (Kreis-)Kegels

Gegeben ist eine ebene Fläche, die von einer Kreislinie begrenzt wird. Verbindet man nun alle Punkte dieser Fläche mit einem Punkt S, der außerhalb der besagten Ebene liegt, so nennt man die Menge dieser Verbindungsgeraden Kegel.
Die Verbindungsgeraden werden auch als Mantellinien des Kegels bezeichnet.
Die (Kreis-)Fläche, die von der Linie eingeschlossen wird, nennt man Grundfläche. Der Punkt S wird als (Kegel-)Spitze bezeichnet.
Liegt die Spitze S senkrecht über dem Mittelpunkt M_G der Grundfläche, so wird der Kegel gerader Kreiskegel genannt; sonst handelt es sich um einen schiefen Kreiskegel.

Ist im Folgenden von einem Kegel die Rede, ist damit ein gerader Kreiskegel gemeint.

Ein gerader Kreiskegel kann aber auch Rotationskegel genannt werden, denn man kann ihn auch durch die Rotation eines rechtwinkligen Dreiecks um eine Kathete entstehen lassen.
Den Achsenschnitt eines Kegels erzeugt man, wenn man ihn mit einer Ebene schneidet, die die Kegelachse, die Verbindungsgeraden der Kegelspitze S mit dem Mittelpunkt M_G der Grundfläche, enthält.
Als halber Öffnungswinkel j wird der Winkel bezeichnet, den die Kegelachse mit einer Mantellinie einschließt.

Schnittfiguren

Man hat sich bereits in der Antike mit Figuren beschäftigt, die entstehen, wenn man einen geraden Kreiskegel mit einer Ebene schneidet. Diese Schnittfiguren wurden Kegelschnitte genannt.
Dabei stellte man fest, daß insgesamt 6 Fälle auftreten können

	Die Schnittebene verläuft nicht durch den Kegelspitz S und ist zu keiner Mantellinie parallel. Als Schnittfigur entsteht dann eine Ellipse bzw. es könnte auch ein Kreis entstehen, nämlich dann, wenn die Schnittebene orthogonal zur Kegelachse ist.
	Wenn die Schnittebene nur zu einer Mantellinie parallel ist und nicht durch den Kegelspitz S geht, heißt die Schnittfigur Parabel.
	Die Schnittebene verläuft nicht durch die Spitze S und ist zu genau zwei Mantellinien parallel. Die daraus entstehende Schnittfigur wird Hyperbel genannt.
	Die Schnittebene geht durch die Spitze S des Kegels und hat mit diesem auch nur diesen Punkt gemeinsam. Die Schnittfigur ist ein Punkt.
	Die Ebene geht durch den Kegelspitz S und berührt den Kegel entlang einer Mantellinie. Die Schnittfigur ist eine Gerade.
	Die Ebene geht durch die Spitze S des Kegels und schneidet diesen in 2 Mantellinien. Bei der Schnittfigur handelt es sich um Geradenpaar, das sich in S schneidet.

Die auftretenden Fälle 1 bis 3 werden in den nun folgenden Kapiteln Kreis, Ellipse, Hyperbel und Parabel behandelt.
Den Fällen 4 bis 6 widmet sich ein anderes Kapitel; Es handelt sich hier um Sonderfälle von Kegelschnitten, welche auch ausgeartete Kegelschnitte genannt werden.
Bei den Gleichungen der Kegelschnitte werden lediglich jene mit einem beliebigen Mittelpunkt M (x_M|y_M) behandelt. Liegt der Mittelpunkt des Kegelschnitts jedoch im Ursprung gilt M=0 und in der Gleichung fallen x_M und y_M als Subtrahenden weg.