Scheitelgleichung der Parabel in 1. Hauptlage 
Zur Herleitung der Parabelgleichung wird die Gleichung 
verwendet.
Die Gleichung der Leitlinie einer Parabel in erster Hauptlage lautet: l: x= -p/2 + xS
Die Koordinaten des Brennpunktes sind: F (xS + p/2|yS)
Nach dem Satz von Pythagoras und der Leitliniendefinition der Parabel gilt für die
Koordinaten von jedem Punkt der Parabel:
(x + p/2 - xS)2 = (x - p/2 - xS)2 + (y - yS)2
(y - yS)2 = 2 · p · (x
- xS)
Gleichung in 2. Hauptlage
Eine Parabel in 2. Hauptlage ist eine Spiegelung einer Parabel 1. Hauptlage an der 1.
Mediane. Deshalb werden die x und y Werte vertauscht. Die Koordinaten des Brennpunkts
lauten F (xS|yS+p/2) und die Gleichung der Leitlinie ist: y = yS
-p/2
Die Gleichung dazu lautet: (x - xS)2 = 2 ·
p · (y - yS)
Gleichung in 3. Hauptlage
Eine Parabel in 3. Hauptlage kann entweder als Spiegelung einer Parabel 1. Hauptlage an
der y-Achse oder als Spiegelung einer Parabel 2. Hauptlage an der 2. Mediane angesehen
werden. Die Formel dazu erhält man durch Multiplizieren der x-Werte mit dem Faktor (-1)
oder dem Vertauschen der x- und y- Werte. Die Koordinaten des Brennpunkts lauten (xS
- p/2|yS) und die Gleichung der Leitlinie ist: x = xS +p/2
Die Gleichung dazu lautet: (y - yS)2 = - 2 ·
p · (x - xS)
Gleichung in 4. Hauptlage
Eine Parabel in 4. Hauptlage kann entweder als Spiegelung einer Parabel 2. Hauptlage an
der x-Achse oder als Spiegelung einer Parabel 3. Hauptlage an der 2. Mediane angesehen
werden. Die Formel dazu erhält man durch Multiplizieren der y-Werte mit dem Faktor (-1)
oder dem Vertauschen der x- und y- Werte. Die Koordinaten des Brennpunkts lauten (xS|yS
- p/2) und die Gleichung der Leitlinie ist: y = yS + p/2
Die Gleichung dazu lautet: (x - xS)2 = - 2 ·
p · (y - yS)
Parameterdarstellung
Bei der Parameterdarstellung der Parabel in 1. Hauptlage wird der y-Wert als Parameter t
angenommen. Es gilt: y = t; 0 < t < ¥
y = yS + t; x = xS + t2/2·p
Die Gleichungen der Parabeln in 2., 3. und 4. Hauptlage lauten analog dazu.
Polarkoordinatengleichung
1. Fall
Der Pol ist im Brennpunkt F und als Polare wird die Parabelachse angesehen.
(handelt es sich um eine Parabel in 1. oder 3. Hauptlage in Ursprungslage wäre dies die
x-Achse; bei einer Parabel in 2. oder 4. Hauptlage in Ursprungslage ist es die y-Achse)
Als z wird der Abstand zwischen dem Brennpunkt und einem beliebigen Punkt X
der Parabel bezeichnet. j ist der Winkel zwischen dieser Geraden und der Polaren. Mit dem
Cosinussatz kommt man zu folgender Gleichung:
x2 + y2 = (p/2)2 + (x - p/2)2 + y2
+ 2 · z · p/2 ·
cosj
Diese Gleichung, zusammen mit der Leitlinieneigenschaft der Parabel nach x aufgelöst ergibt dann die Gleichung der Parabel in
Polarkoordinaten.
2. Fall
Der Pol ist im Scheitel der Parabel und als Polare gilt – wie beim vorherigen Fall
– jeweils die Parabelachse. Als z ist dieses Mal der Abstand zwischen dem
Scheitel und dem Punkt der Parabel definiert und j ist der zwischen dieser Geraden und der
Polare eingeschlossene Winkel.
Es gelten zusätzlich folgende Gleichungen: x = r · cosj ; y = r ·
sinj
Wer den diese nun in die ursprüngliche Parabelgleichung: y2 = 2 · p · x eingesetzt erhält man nach
einigen Äquivalenzumformungen eine Parabelgleichung mit Polarkoordinaten.
r = 2 · p · cos
j (1 + cot2j)
